Persamaan Posisi, Kecepatan dan Percepatan pada GHS

بِسْــــــــــــــــمِ اﷲِالرَّحْمَنِ الرَّحِيم

PERSAMAAN POSISI SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS

Kita tinjau sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.

Karena benda melakukan gerak melingkar dengan kecepatan sudut omega , di mana hubungan antara kecepatan sudut omega dan besar sudut simpangan teta dinyatakan dengan persamaan :

Di mana teta dinyatakan dalam radian. (bandingkan dengan s = vt pada gerak lurus)

Kita subtitusikan nilai teta pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :

Ini adalah persamaan posisi sebagai fungsi waktu

Dalam hubungan dengan frekuensi, kecepatan sudut omega dapat juga dinyatakan dengan persamaan :

Di mana f adalah frekuensi. (kita telah mempelajari hal ini pada Pokok Bahasan Besaran-besaran fisis gerak melingkar beraturan)

Nah, sekarang kita subtitusikan nilai omega ke dalam persamaan 3 :

posisi, simpangan, kecepatan dan percepatan-6f

Persamaan 3a, 3b dan 3c merupakan persamaan posisi sebagai fungsi waktu pada Gerak Harmonik Sederhana.

Grafik posisi sebagai fungsi waktu

Posisi sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini…

Pada saat t = 0, benda berada pada simpangan sejauh +A (A alias amplitudo). Tanda positif menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kanan atau bagian atas titik setimbang nol.

Pada saat t = ¼ T, benda berada pada posisi setimbang (A = 0).

Pada saat t = ½ T, benda berada pada simpangan sejauh -A. Tanda negatif menunjukkan bahwa benda berada pada bagian kiri titik acuan nol.

Pada saat t = ¾ T, benda kembali berada di posisi setimbang (A = 0). Jadi benda bergerak kembali dari simpangan sejauh -A menuju titik setimbang.

Pada saat t = T, benda berada lagi di timpangan sejauh +A, posisi di mana benda pertama kali mulai bergerak. Demikian deterusnya, benda bergerak bolak balik dan membentuk kurva cosinus. Posisi benda dapatkita hitung dengan persamaan

Kita menggunakan persamaan ini karena gerakan benda membentuk kurva cosinus.

Pada grafik di atas, benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A sehingga gerakan benda tersebut membentuk kurva cosinus. Apabila benda mulai bergerak dari posisi setimbang (A = 0), maka gerakan benda tersebut membentuk kurva sinus.

Jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang (x = 0) sehingga membentuk kurva sinus, bagaimana dengan persamaan untuk menghitung posisi benda ?

Kita menggunakan persamaan :

Jadi jangan terpaku dengan persamaan di atas. Tergantung benda bergerak dari mana. Apabila benda mulai bergerak dari simpangan sejauh A (amplitudo) maka kita menggunakan persamaan cosinus di atas. tapi jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang, kita menggunakan persamaan sinus…. bisa dipahami ya ? dibaca kembali secara perlahan-lahan biar dirimu memahami penjelasan GuruMuda.

Sekarang kita lanjut ke persamaan kecepatan….

PERSAMAAN KECEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS

Sekarang mari kita tinjau persamaan kecepatan pada GHS. Kita tetap menggunakan bantuan lingkaran acuan untuk menurunkan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu. Kita tinjau lagi sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah

v adalah laju linear benda, v_x adalah proyeksi laju linear benda pada sumbu x. Kedua segitiga yang memiliki sudut teta pada gambar di atas simetris.

Pada gambar di atas, tampak bahwa besar v_x = v sin teta, di mana arah v_x menuju ke kiri. Karena kecepatan termasuk besaran vektor, maka kita tulis kembali persamaan v_x menjadi :

Bagaimana dengan besar v ?

Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, maka kelajuan linearnya sama dengan keliling lingkaran dibagi periode. Secara matematis ditulis :

Kecepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini…

Cara membaca grafik ini sangat gampang

Grafik di atas mengatakan bahwa pada saat t = 0, kecepatan benda = 0.

Pada saat t = ¼ T, kecepatan benda menjadi menjadi -v (kecepatan maksimum). Tanda negatif menunjukkan bahwa arah kecepatan ke kiri atau ke bawah jikakita tetapkan posisi setimbang adalah 0 pada sumbu koordinat xy. Karena kecepatan benda bernilai negatif maka bisa dipastikan benda sedang berada pada posisi setimbang. jadi darigrafik di atas tampak bahwa benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang (A = 0).

Pada saat t = ½ T kecepatan benda = 0. Benda sekarang berada pada simpangan sejauh -A. Ingat bahwa ketika mencapai simpangan maksimum, kecepatan benda = 0 dan sekarang benda akan berbalik arah.

Pada saat t = ¾ T, benda bergerak dengan kecepatan maksimum. Dari grafik, kita tahu bahwa kecepatan benda bernilai positif, sehingga bisa disimpulkan benda sedang bergerak ke kanan dan saat ini berada pada posisi setimbang. sekali lagi ingat bahwa ketika berada pada posisi setimbang, benda memiliki kecepatan maksimum.

Pada saat t = T, kecepatan benda = 0. nah, sekarang benda berada pada simpangan sejauh +A (benda berada di sebelah kanan posisi setimbang). sekarang benda telah melakukan satu getaran lengkap. Selanjutnya benda akan bergerak lagi ke posisi setimbang. demikian seterusnya…

Untuk menghitung kecepatan benda sepanjang kurva di atas, kita menggunakan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu yang telah diturunkan di atas, yakni :

Mengapa menggunakan sinus ? coba dirimu baca kembali pembahasan mengenai persamaan simpangan… GuruMuda telah menyinggung hal tersebut..

PERSAMAAN PERCEPATAN SEBAGAI FUNGSI WAKTU PADA GHS

Persamaan percepatan sebagai fungsi waktu kita turunkan dari Hukum II Newton :

Kita subtitusikan besar gaya total (sigma F) pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :

Persamaan 3a dan persamaan 3b adalah persamaan percepatan sebagai fungsi waktu.

Grafik percepatan sebagai fungsi waktu

Percepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini…

Bagaimana membaca grafik ini ?

Pada saat t = 0, percepatan benda bernilai maksimum. Ingat lagi persamaan yang telah kita turunkan tadi……

Sesuai dengan grafik di atas, percepatan benda bernilai negatif. ini berarti benda sedang bergerak ke kiri atau ke bawah dan benda berada pada posisi setimbang.

Pada saat t = ¼ T, percepatan benda = 0. benda sekarang sedang berada pada simpangan sejauh -A. Pada saat berada pada simpangan maksimum, kecepatan benda bernilai nol sesaat, sehingga percepatannya juga nol. Pada posisi ini benda mulai berbalik arah menuju ke kanan.

Pada saat t = ½ T, percepatan bernilai maksimum. Tanda negatif menunjukkan bahwa arah percepatan ke kanan. Saat ini benda sedang berada di posisi setimbang…

Pada saat t = ¾ T, percepatan bernilai nol. Benda sedang berada pada simpangan sejauh +A.

Pada saat t = T, percepatan benda kembali bernilai maksimum (percepatan benda negatif). jadi benda sedang bergerak ke kiri dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang. pada saat t = T, benda telah melakukan satu getaran lengkap…. demikian seterusnya….

Catatan : penurunan rumus yang bertele-tele di atas

hanya mau menujukkan dari mana asal rumus tersebut. Pada akhirnya dalam setiap soal hitungan, kita menggunakan rumus final. Jadi dirimu jangan bingung dengan rumus yang banyak di atas…. pahami saja proses penurunannya lalu sering-sering latihan soal sehingga rumus final otomatis diingat…. Sttt… Jangan pake hafal