Fungsi Gelombang, Persamaan Gelombang

بِسْــــــــــــــــمِ اﷲِالرَّحْمَنِ الرَّحِيم

Untuk membantumu memahami konsep fungsi, pahami penjelasan berikut : Jika kita mengatakan x adalah fungsi t, maka yang kita maksudkan adalah untuk setiap nilai t, ada nilai x yang sesuai. Misalnya x = At², di mana A merupakan konstanta. Untuk menyatakan bahwa x adalah fungsi t, kadang x dalam x = At² ditulis dalam bentuk x(t). Pahami perlahan-lahan… nah, sebelumnya sudah dijelaskan tentang konsep fungsi, sekarang giliran fungsi gelombang… untuk membantumu memahami konsep fungsi gelombang, kita tinjau gelombang pada tali…

Misalnya mula-mula seutas tali direntangkan. Apabila kita mengabaikan bentuk tali yang kendur akibat adanya gaya gravitasi yang bekerja padanya maka tali yang kita rentangkan tersebut akan tampak lurus sejajar horisontal. Ketika bentuk tali lurus sejajar horisontal, tali atau setiap titik pada tali dikatakan berada dalam posisi kesetimbangan. Kitabisa mengganggap garis lurus sepanjang tali tersebut sebagai sumbu x sistem koordinat. Untuk lebih jelasnya lihat gambar di bawah :

Perhatikan bahwa setiap titik pada tali memiliki posisi yang berbeda sepanjang sumbu x, diukur dari titik asal (titik asal atau titik acuan tuh titik yang terletak pada perpotongan antara sumbu x dan y). Apabila tali digerakkan naik turun secara teratur maka akan timbul gelombang yang merambat sepanjang tali tersebut. Ketika gelombang merambat sepanjang tali, posisi setiap titik pada arah vertikal selalu berubah. Agar dirimu lebih memahami hal ini, silahkan perhatikan titik hitam pada tiga gambar gelombang di atas. Ketika gelombang merambat sepanjang tali (hal ini diwakili oleh tiga gambar gelombang yang berbeda), tampak bahwa posisi titik hitam pada arah vertikal atau sumbu y selalu berubah-ubah. Perlu diketahui bahwa posisi titik hitam hanya berubah pada arah vertikal atau sumbu y saja, posisinya pada horisontal atau sumbu x selalu tetap. Setiap titik lain pada tali juga mempunyai nasib yang sama dengan titik hitam pada gambar di atas. Titik hitam hanya digunakan sebagai contoh saja…

Sebelumnya sudah dijelaskan bahwa setiap titik pada tali memiliki posisi yang berbeda sepanjang sumbu x, diukur dari titik asal. Nah, ketika gelombang merambat sepanjang tali, setiap titik pada tali mengalami perubahan posisi pada arah vertikal atau sumbu y. Perhatikan bahwa perubahan posisi pada arah vertikal atau sumbu y, yang dialami oleh masing-masing titik pada tali sepanjang sumbu x,  berbeda-beda. Kalo dirimu bingun, baca perlahan-lahan sambil lihat gambar di atas… Dengan demikian, jika kita ingin mengetahui posisi suatu titik pada sumbu y, maka kita perlu mengetahui titik mana yang hendak ditinjau. Bagaimanapun setiap titik sepanjang sumbu x mempunyai posisi yang berbeda-beda pada sumbu y.Bisa dikatakan bahwa posisi suatu titik pada sumbu y bergantung pada posisi titik tersebut pada sumbu x (y bergantung pada x) dan juga bergantung pada waktu (t) ketika kita melihat titik tersebut. Bahasa matematisnya adalah y merupakan fungsi x dan t — y = y(x,t). Nah, y(x,t) dikenal dengan julukan fungsi gelombang… fungsi gelombang ini berguna untuk menjelaskan gelombang tersebut… Artinya jika kita mengetahui fungsi gelombang dari suatu gelombang tertentu, kitabisa mencari perpindahan sembarang titik dari posisi setimbang pada suatu waktu tertentu. Dengan mengetahui perpindahan sembarang titik ini, kitabisa mencari kecepatan atau percepatan dari sebarang titik sepanjang tali, bentuk tali atau gerakan tali pada suatu waktu tertentu.

Fungsi Gelombang Harmonik

Untuk menentukan fungsi gelombang harmonik, mari kita tinjau sebuah gelombang harmonik yang merambat atau berjalan dari kiri ke kanan sepanjang tali, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Banyaknya gambar gelombang hanya menunjukkan bahwa gelombang harmonik sedang merambat sepanjang tali. Perambatan gelombang ditandai dengan perubahan bentuk tali pada setiap selang waktu yang berbeda.

Gambar ini menjelaskan sebuah gelombang harmonik yang merambat dari kiri ke kanan sepanjang tali, selama satu periode (T). Dalam satu periode (t = 0 sampai t = T), gelombang harmonik merambat sejauh satu panjang gelombang (lambda).

Ketika gelombang harmonik merambat dari kiri ke kanan sepanjang tali, setiap bagian tali atau setiap titik sepanjang tali berosilasi daam gerak harmonik sederhana di sekitar titik kesetimbangannya dengan amplitudo (A) dan frekuensi (f) yang sama.  Perlu diketahui bahwa walaupun setiap titik sepanjang tali berosilasi dengan  A dan f yang sama tetapi osilasi dari setiap titik tidak sejalan. Untuk memahami hal ini, perhatikan tiga titik (titik a, b dan c) pada gambar di atas. Ketiga titik tersebut hanya digunakan sebagai contoh saja. Pada saat t = 0, titik a, b dan c berhimpit dengan sumbu x atau berada pada posisi setimbang. Dalam hal ini, posisi ketiga titik tersebut pada sumbu y sama dengan nol (y = 0). Pada saat t = 2T/8, titik a dan c berada pada nilai negatif maksimum dari sumbu y, sedangkan titik b berada pada nilai positif maksimum dari sumbu y. Dengan kata lain, titik a dan c berada pada lembah gelombang sedangkan titik b berada pada puncak gelombang. Pada saat t = 4T/8, titik a, b dan c kembali berada pada posisi setimbangnya. Pada saat t = 6T/8, titik a dan c berada pada nilai positif maksimum dari sumbu y, sedangkan titik b berada pada nilai negatif maksimum dari sumbu y. Dengan kata lain, titik a dan c berada pada puncak gelombang sedangkan titik b berada pada lembah gelombang. Pada saat t = T, titik a, b dan c kembali berada pada posisi setimbangnya atau berimpit dengan sumbu x.

Perhatikan bahwa ketika gelombang merambat sepanjang tali, gerakan titik a dan b atau gerakan titik b dan c berbeda selangnya satu sama lain. Sebaliknya gerakan titik a dan c memiliki selang yang sama. Kita menamakan perbedaan ini sebagai selisih fase atau beda fase. Titik a dan b dalam gambar di atas dikatakan memiliki beda fase sebesar setengah siklus atau setengah panjang gelombang. Demikian juga titik b dan c dikatakan memiliki beda fase sebesar setengah siklus atau setengah panjang gelombang (setengahlambda ). Sebaliknya titik a dan c sefase atau memiliki fase yang sama (beda fase nol). Karena jarak dari titik a dan c adalah satu panjang gelombang (lambda) maka kita bisa mengatakan bahwa setiap titik yang berjarak satu panjang gelombang pasti memiliki fase yang sama atau sefase atau bergerak dalam satu siklus.

Sekarang mari kita turunkan fungsi gelombang harmonik. Kita tinjau sebuah titik yang pada mulanya berada di titik acuan (x = 0), sebagaimana ditunjukkan dalam gambar di atas. Dalam pokok bahasan persamaan posisi, kecepatan dan percepatan pada gerak harmonik sederhana (materi getaran), kita sudah menurunkan sebuah persamaan yang menyatakan posisi suatu titik yang melakukan gerak harmonik sederhana. Persamaan ini diturunkan dengan meninjau keterkaitanantara gerak harmonik sederhana dan gerak melingkar beraturan. Sebaiknya pelajari terlebih dahulu materi getaran untuk memudahkan pemahamanmu… karena kita meninjau titik yang pada mulanya berada di titik acuan (gerakan gelombang dimulai dari titik acuan) maka kita gunakan persamaan ini :

Titik tersebut berosilasi dengan amplitudo A, frekuensi f dan frekuensi sudut (omega). Kalau dirimu bingun dengan istilah frekuensi sudut, silahkan pelajari lagi gerak melingkar. Pahami saja keterkaitan antara frekuensi (rpm) dan kelajuan sudut… Perhatikan bahwa titik yang kita tinjau berada di x = 0 sehingga dalam persamaan di atas ditulis notasi y(x = 0, t). Jadi notasi y(x = 0, t) mengingatkan kita bahwa gerakan titik tersebut merupakan kasus khusus dari fungsi gelombang y(x, t) yang menjelaskan keseluruhan gelombang.

Berdasarkan persamaan di atas, bisa dikatakan bahwa bahwa pada saat t = 0, titik yang berada di x = 0 memiliki perpindahan pada sumbu y sebesar nol (y = 0) dan titik tersebut bergerak dalam arah y positif seiring bertambahnya waktu (titik bergerak ke atas menuju puncak gelombang seiring bertambahnya waktu). Dari mana kita tahu bahwa titik tersebut bergerak dalam arah y positif atau bergerak ke atas ? guampang… amplitudo (A) dalam persamaan di atas bernilai positif. Kalo amplitudo bernilai negatif (-A) berarti titik bergerak dalam arah y negatif atau bergerak ke bawah… biar paham, bandingkan dengan gambar sebelumnya…

Seiring bertambahnya waktu, gelombang berjalan dari x = 0 ke titik lain sepanjang sumbu x yang berada di sebelah kanan titik acuan. Karenanya pada waktu t, gerakan titik lain sepanjang sumbu x positif sama seperti gerakan titik yang berada di x = 0 pada waktu sebelumnya (t – t’ = t – x/v). v = s/t’ = x/t’ — t’ = x/v, di mana x merupakan jarak suatu titik dari titik acuan, sedangkan v merupakan laju gelombang yang berjalan sepanjang tali. Untuk menghitung perpindahan suatu titik yang berjarak x dari titik acuan pada waktu t, kita bisa menggantikan t dalam persamaan sebelumnya dengan t – x/v :

Persamaan 1 bisa diobok-obok ke dalam bentuk lain :

Dari persamaan 2, kita bisa mendefinisikan suatu besaran baru yang dikenal dengan julukan bilangan gelombang (k) :

Persamaan 2 bisa ditulis lagi dalam bentuk seperti ini :

Persamaan 1, persamaan 2 dan persamaan 3 merupakan tiga bentuk fungsi gelombang harmonik yang bergerak dalam arah x positif alias bergerak ke kanan. Dalam menyelesaikan soal, anda bisa menggunakan salah satu dari ketiga bentuk fungsi gelombang sesuai dengan kebutuhan

Kita bisa menurunkan persamaan yang menyatakan hubungan antara frekuensi sudut (omega), laju gelombang (v) dan bilangan gelombang (k) :

Persamaan ini menjelaskan hubungan antara frekuensi sudut (omega), laju gelombang (v) dan bilangan gelombang (k).

Grafik fungsi gelombang y(x, t)

Sebelumnya kita sudah menurunkan persamaan yang menyatakan bentuk fungsi gelombang harmonik yang berjalan dalam arah sumbu x positif (gelombang berjalan ke kanan). Berdasarkan persamaan tersebut, kita bisa menggambar grafik yang menjelaskan perpindahan titik sepanjang tali pada arah vertikal atau sumbu y diukur dari posisi kesetimbangan atau sumbu x, pada suatu waktu tertentu. Untuk mengambarkan grafik y(x, t) terhadap x, kita pilih t = 0. Persamaan sebelumnya bisa dioprek menjadi seperti ini :

Jika gelombang harmonik tersebut berbentuk transversal yang berjalan sepanjang tali dalam arah sumbu x positif, maka bentuk gelombang dan bentuk tali tampak seperti gambar di bawah.

Untuk mengambarkan grafik y(x, t) terhadap t, kita pilih x = 0. Persamaan sebelumnya bisa dioprek menjadi seperti ini :

Grafik ini menunjukkan posisi sumbu y dari suatu titik yang terletak di x = 0, sebagai fungsi waktu. Perhatikan bahwa grafik ini tidak menggambarkan bentuk gelombang atau bentuk tali.

Fungsi gelombang yang sudah diturunkan sebelumnya menyatakan gelombang harmonik yang berjalan dalam arah x positif (gelombang berjalan ke kanan). Kita bisa mengubah fungsi gelombang tersebut untuk menyatakan gelombang harmonik yang berjalan dalam arah x negatif (gelombang berjalan ke kiri). Seiring bertambahnya waktu, gelombang berjalan dari x = 0 ke titik lain sepanjang sumbu x yang berada di sebelah kiri titik acuan. Karenanya pada waktu t, gerakan titik lain sepanjang sumbu x negatif sama seperti gerakan titik yang berada di x = 0 pada waktu sesudahnya (t + t’ = t + x/v). Jadi kita hanya perlu mengganti tanda negatif dengan positif.

Untuk gelombang yang berjalan dalam arah x negatif, bentuk fungsi gelombangnya dinyatakan oleh tiga persamaan di bawah :

Persamaan Gelombang

Fungsi gelombang yang sudah kita turunkan sebelumnya bisa kita gunakan untuk menentukan laju dan besar percepatan suatu titik tertentu pada tali ketika gelombang transversal merambat melalui tali tersebut. Btw, jangan kacaukan laju suatu titik tertentu pada tali dengan laju perambatan gelombang. Ketika gelombang merambat sepanjang tali, setiap titik pada tali berosilasi di sekitar posisi kesetimbangannya. Dalam hal ini arah gerakan atau arah kecepatan setiap titik tersebut tegak lurus arah perambatan atau arah kecepatan gelombang. Misalnya kalau gelombang bergerak ke kanan (arah kecepatan gelombang ke kanan) maka arah gerakan atau arah kecepatan titik pada tali ke atas atau ke bawah. Untuk membedakannya dengan laju perambatan gelombang, maka laju titik kita beri simbol v_y.

Untuk menentukan laju suatu titik tertentu pada tali, kita menghitung turunan parsial dari fungsi gelombang y(x, t) terhadap waktu t dengan mempertahankan nilai x konstan. Pekerjaan ini bisa diselesaikan menggunakan turunan parsial… disebut parsial karena yang diturunkan hanya sebagian saja (parsial = sebagian).  Fungsi y(x, t) punya dua variabel yakni x dan t. Nah, kita ingin mencari laju suatu titik tertentu pada tali sehingga x kita pertahankan agar konstan, yang kita hitung cuma turunan y(x, t) terhadap waktu t. Terlebih dahulu kita tulis salah satu bentuk fungsi gelombang yang sudah diobok2 sebelumnya…

Persamaan 1 bisa kita gunakan untuk menentukan laju sebarang titik pada tali, ketika gelombang merambat sepanjang tali tersebut. Jika laju suatu titik tertentu pada tali merupakan turunan parsial pertama maka besar percepatan merupakan turunan parsial kedua dari y(x, t) terhadap t :

Persamaan 2 bisa kita gunakan untuk menentukan besar percepatan sebarang titik pada tali, ketika gelombang merambat sepanjang tali tersebut. Dari persamaan ini tampak bahwa besar percepatan suatu titik sama dengan hasil kali antara negatif omega kuadrat dengan besar perpindahan titik tersebut.

Sebelumnya kita sudah menghitung turunan parsial dari fungsi gelombang y(x, t) terhadap waktu t dengan mempertahankan nilai x konstan. Kali ini kita menghitung turunan parsial dari fungsi gelombang y(x, t) terhadap waktu x dengan mempertahankan nilai t konstan. Apabila sebelumnya kita menentukan laju dan besar percepatan suatu titik tertentu pada tali maka kali ini kita meninjau bentuk tali pada suatu saat tertentu. Terlebih dahulu kita tulis lagi salah satu bentuk fungsi gelombang yang sudah diobok2 sebelumnya…

Persamaan 3 menyatakan kemiringan tali pada suatu saat tertentu. Jika kemiringan tali pada suatu saat tertentu merupakan turunan parsial pertama dari y(x, t) terhadap x, maka turunan parsial kedua dari y(x, t) terhadap x menyatakan kelengkungan tali :

Persamaan 4 menyatakan kelengkungan tali pada suatu saat tertentu. Pahami perlahan-lahan… kalau dirimu bingun, pelajari kalkulus terlebih dahulu. Biar lebih mudah paham, ingat saja : turunan sin adalah cos, turunan cos adalah –sin, turunan –sin adalah –cos, turunan –cos adalah sin. Kalo integral tinggal dibalik saja…

Nah, dengan melihat keterkaitan antara frekuensi sudut (omega), laju perambatan gelombang (v) serta bilangan gelombang (k) dalam persamaan omega = vk sebagaimana telah kita turunkan sebelumnya, maka kita bisa menyatukan persamaan 2 dan persamaan 4 ke dalam sebuah persamaan tunggal :

Kita kawinkan kedua persamaan ini :

Hasil akhir yang kita peroleh ini dikenal dengan julukan persamaan gelombang. Persamaan gelombang merupakan salah satu persamaan terpenting dalam fisika. Bilamana persamaan ini muncul dalam perhitungan kita maka kita bisa meramalkan bahwa terdapat suatu gelombang yang merambat sepanjang sumbu x dengan laju v.

Sebelumnya saya menurunkan persamaan gelombang menggunakan fungsi gelombang y(x, t) = A sin (omega t – kx). Sebenarnya kita juga bisa menggunakan y(x, t) = A sin (omega t + kx). Hasilnya sama saja… Dirimu bisa mencobanya…

 
Source : http://gurumuda.com