SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT

بِسْــــــــــــــــمِ اﷲِالرَّحْمَنِ الرَّحِيم

A. Sistem persamaan linier dan linear dengan dua variable
1. Persamaan Linear dengan Dua Variabel serta penyelesaiannya
Bentuk umum persamaan linear dengan dua variable dalam x dan y dapat dituliskan sebagai berikut :
Ax + by = c, dengan a, b dan c bilangan riil
Contohnya :
a) 2x + 3y = 12
b) 5x – 2y = 7
c) X + y = -6
Bila x = p dan y = q, sedemikian hingga persamaan ax + by = c, menjadi ap + bq = c, merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka (p, q) disebut penyelesaian dari ax + by = c
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear x + y = 4, untuk x dan y bilangan cacah !
Jawab :
X + y = 4
X = 0, maka y = 4
X = 1, maka y = 3
X = 2, maka y = 2
X = 3, maka y = 1
X = 4, maka y = 0
X = 5, maka y = -1 (tidak memenuhi)
Pasangan berurutan (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0), merupakan penyelesaian, sedangkan (5,-1) bukan penyelesaian karena y = -1 bukan bilangan cacah. Jadi himpunan penyelesaian dari x + y = 4 adalah , secara geometris, grafik himpunan penyelesaian dari persamaan linear x + y = 4 dengan x dan y bilangan cacah adalah koordinat titik-titik pada bilangan cartesius (gambar 3.2). sedangkan bila x dan y bilangan riil, maka grafik himpunan penyelesaiannya berupa garis lurus. (gambar 3.3)

2. Sistem persamaan linear dan linear dengan dua variable
Bentuk umum system persamaan linear dan linear dengan dua

(GAMBAR 3.2)

(GAMBAR 3.3)
variable dalam x dan y adalah :
x + y =
x + y =
Dengan , , , , dan bilangan riil
Pada persamaan pertama dan boleh nol tapi tidak boleh keduanya, begitu juga untuk dan pada persamaan kedua. Grafik dari dua persamaan linear berupa dua buah garis lurus dan titik potongnya merupakan himpunan penyelesaian, tapi tak selamanya 2 garis berpotongan, bias saja sejajar bahkan berimpit, oleh karenanya ada tiga (3) kemungkinan himpunan penyelesaian system persamaan linear dan linear dengan dua varabel sebagai berikut :
a) Jika , maka hanya mempunyai satu titik potong yang merupakan himpunan penyelesaiaannya
b) Jika , maka kedua garis sejajar/ tidak mempunyai himpunan penyelesaian
c) Jika , maka kedua garis berimpit/mempunyai titik persekutuan yang tak berhingga sehingga anggota himpunan penyelesaiannya tak berhingga

Cara menentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear dengan dua variabel adalah sebagai berikut :
a) Metode Eliminasi
Mengeliminasi artinya menghilangkan sementara / menyembunyikan salah satu variabel menjadi hanya satu variabel dan dalam system persamaannya dapat diselesaikan. Cara menghilangkan sementara salah satu variabel adalah dengan menyamakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan kemudian dikurangkan. Apabila tanda koefisien sama atau dijumlahkan, apabila tanda koefisien berlawanan. Untuk menyamakan koefisien, masing-masingpersamaan linearnya dikalikan dengan bilangan sesuai dengan kebutuhannya.
Contoh : tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear berikut dengan metode eliminasi
2x + y = 4
6x + 3y = 18
Jawab :
Kita akan menghilangkan sementara variabel y, sebelumnya kita samakan koefisiennya.

Persamaan linear ini tidak me4mpunyai anggota himpunan penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah atau O
b) Metode Subsitusi
Metode subsitusi dilakukan dengan menggunkan langkah-langkah sebagai berikut :
1) Mengubah salah satu variabel menjadi fungsi terhadap variabel lainnya pada salah satu persamaan
2) Variabel yang sudah menjadi fungsi disubsitusikan ke persamaan lainnya
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari dengan menggunakan metode subsitusi?
Jawab :

Subsitusikan kepersamaan 3x + 5y = 8, maka

Jadi :

Subsitusikan ke y =
y =
y =
y = 4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
c) Metode gabungan eliminasi dan Subsitusi
Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasi salah satu variabel kemudian dilanjutkan dengan mensubsitusikan hasil dari eliminasi tersebut :
Contoh : tentuka himpunan penyelesaian dari :

Selesaikan dengan metode gabungan eliminasi dan subsitusi
Jawab : misalkan dan

-4q = -1
q =
subsitusikan kepersamaan………………….(1)

Karena , maka x = 2, dan
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
B. Sistem Persamaan Linear dan Linear dengan Tiga(3) Variabel
Bentuk umum dari persamaan linear dan linear dengan 3 variabel dalam x,y, dan z adalah sebagai berikut :

, , , , , , , , , bilangan riil. Seperti pada system persamaab linear dan linear dengan dua variabel, himpunan penyelesaian, himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear dengan 3 variabel dapat diperoleh dengan menggunkan metode :
a. Eliminasi
b. Subsitusi
c. Gabungan Eliminasi dan Subsitusi
Contoh :
a. Tentukan Himpunan penyelesaian dari system persamaan linear
Dengan metode Eliminasi.
b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear Dengan metode Subsitusi
c. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear Dengan metoda gabungan eliminasi dan subsitusi
Jawab :
a. Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2)

3x + 4 y = 5………… (4), Eliminasi Variabel z dari persamaan (1) dan (3)

7 x + 5 y = 16…………….(5)
Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5)
3x + 4y = 5
7x + 5 y = 16
-13x = -39
X = 3

Eliminasi variabel x dari persamaan (4) dan (5)

13y = -13
y = -1
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2)

y – 3z = -7………………………(6)
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (3)

11y – 7z = -25…………………(7)
Eliminasi variabel y dari persamaan (6) dan (7)

-26z = -52
z = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
b.
Dari persamaan (1)

Dari persamaan (4) subsitusikan ke persamaan (2)

Dari persamaan (4) subsitusikan ke persamaan (3)

Dari persamaan (5) subsitusikan ke persamaan (6)

Nilai z = 5 subsitusikan ke persamaan (5)

Nilai z=5 dan y=2 Subsitusikan kepersamaan (4)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

c.
Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2)

13x – 7y = 56……………………(4)
Eliminasi variabel z dari persamaan (2) dan (3)

21x – 7y = 56………………(5)
Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5)

448x = 1344
x = 3
Nilai x=3, subsitusikan ke persamaan (4)

Nilai x=3 dan y = 1, subsitusikan ke persamaan (1)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
C. Sitem Persamaan Linear dan Kuadrat
Bentuk umum system persamaan linear dan kuadrat sebagai berikut
y = ax + b ………………….bentuk linear
y = …………...bentuk kuadrat
dengan a, b, p, q, r, x dan y adalah bilangan riil.
Grafik dari persamaan linear dan fungsi kuadrat berturut-turut berupa garis lurus dan parabola. Titik potong garis dan parabola merupakan penyelesaian dari system persamaan linear dan kuadrat tersebut. Subsitusikan y = ax + b ke y = .
= ax + b

Adalah bentuk persamaan kuadrat dengan diskriminan D =
Jadi ada 3 kemungkinan himpunan penyelesaiannya, yaitu :
1) Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
2) JIka D = 0, maka garis dan parabola berpotongan disatu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
3) Jika D<0,> 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
2) Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan disatu titik (bersinggungan) yang merupakan himpunan penyelesaiaannya
3) Jika D < a =" p" a =" p," b =" q," a =" p," b =" q," c =" r," x =" 2" 3 =" 5" y =" dan" y =" ," y =" dan" y =" 5" 4y =" -7" y =" xy………………………………………(1)" 2y =" 2xy……………………………………...(2)" b =" 3000……………………….(1)" a =" 2B" 8y =" -12…………….(4)" x =" 28" x =" 10,96………………(5)" d =" 0"> 0

7.
Eliminasi (2) dan (3)

19 x = 51
x =
x = 2,7………………………(4)
subsitusi (4) ke (1)
2x + y = 7
2(2,7)+y = 7
5,4+y = 7
y = 1,6………………………………………..(5)
subsitusikan (4) ke (2)
3x – 2z = 13
3(2,7) – 2z = 13
8,1 – 2z =13
-2z = 13 – 8,1
z =
z = -2,45
missal : p = x =2,7
q = y = 1,6
r = z = -2,45

8.
Eliminasi (1) dan (2)

- 13 y = 26
y = -2………………..(3)
subsitusi (3) ke (2)
x + 4 (-2) = -7
x – 8 = -7
x = 1
Himpunan penyelesaiannya adalah
9. Misal bilangan pertama = a
Misal bilangan kedua = b
Missal bilangan ketiga = c

Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (4)

Subsitusikan nilai c dan persamaan (2) ke persamaan (1)

Subsitusikan nilai b pada persamaan (2)

Bilangan-bilangan itu adalah
10. Misalnya usia Ibu x tahun dan usia dona y tahun

Eliminasi (1) dan (2)

4y = -28
y = 7………………………………………..(3)
subsitusikan persamaan (3) ke persamaan (1)

Jadi usia Ibu adalah 32 tahun dan usia Dona adalah 7 tahun