Prinsip dan persamaan Bernoulli

بِسْــــــــــــــــمِ اﷲِالرَّحْمَنِ الرَّحِيم

Prinsip Bernoulli

Prinsip Bernoulli menyatakan bahwa di mana kecepatan aliran fluida tinggi, tekanan fluida tersebut menjadi rendah. Sebaliknya jika kecepatan aliran fluida rendah, tekanannya menjadi tinggi.

Ketika sepeda motor bergerak dengan cepat, maka kecepatan udara di bagian depan dan samping tubuhmu tinggi. Dengan demikian, tekanan udara menjadi rendah. Nah, bagian belakang tubuhmu terhalangi bagian depan tubuhmu, sehingga kecepatan udara di bagian belakang tubuhmu tidak berubah menjadi tinggi (tepat di bagian belakang tubuhmu). Akibatnya tekanan udara di bagian belakang tubuhmu menjadi lebih besar. Karena ada perbedaan tekanan udara, di mana tepat di bagian belakang tubuh tekanan udara lebih besar maka udara mendorong bajumu ke belakang sehingga bajumu kelihatan kembung ke belakang.

Bagaimana dengan daun pintu rumah yang menutup sendiri ketika angin bertiup kencang di luar rumah ? udara yang ada di luar rumah bergerak lebih cepat daripada udara yang ada di dalam rumah. Akibatnya, tekanan udara di luar rumah lebih kecil dari tekanan udara dalam rumah. Karena ada perbedaan tekanan, di mana tekanan udara di dalam rumah lebih besar, maka pintu didorong keluar. Dengan kata lain, daun pintu bergerak dari tempat yang tekanan udaranya besar menuju tempat yang tekanan udaranya kecil.

Persamaan Bernoulli

Sebelumnya kita telah belajar mengenai prinsip Om Bernoulli. Nah, Om Bernoulli juga mengembangkan prinsipnya itu secara kuantitatif. Untuk menurunkan persamaan Bernoulli, kita anggap aliran fluida tunak & laminar, tak-termampatkan alias tidak bisa ditekan, viskositas alias kekentalannya juga kecil sehingga bisa diabaikan.

Pada pembahasan mengenai Persamaan Kontinuitas, kita sudah belajar bahwa laju aliran fluida juga dapat berubah-ubah tergantung luas penampang tabung alir. Berdasarkan prinsip om Bernoulli yang dijelaskan di atas, tekanan fluida juga bisa berubah-ubah tergantung laju aliran fluida tersebut. Selain itu, dalam pembahasan mengenai Tekanan Pada Fluida (Fluida Statis), kita juga belajar bahwa tekanan fluida juga bisa berubah-ubah tergantung pada ketinggian fluida tersebut. Nah, hubungan penting antara tekanan, laju aliran dan ketinggian aliran bisa kita peroleh dalam persamaan Bernoulli. Persamaan bernoulli ini sangat penting karena bisa digunakan untuk menganalisis penerbangan pesawat, pembangkit listrik tenaga air, sistem perpipaan dkk.

Agar persamaan Bernoulli yang akan kita turunkan berlaku secara umum, maka kita anggap fluida mengalir melalui tabung alir dengan luas penampang yang tidak sama dan ketinggiannya juga berbeda (lihat gambar di bawah). Untuk menurunkan persamaan Bernoulli, kita terapkan teorema usaha dan energi pada fluida dalam daerah tabung alir (ingat kembali pembahasan mengenai usaha dan energi). Selanjutnya, kita akan memperhitungkan banyaknya fluida dan usaha yang dilakukan untuk memindahkan fluida tersebut.

Warna buram dalam tabung alir pada gambar menunjukkan aliran fluida sedangkan warna putih menunjukkan tidak ada fluida.

Fluida pada luas penampang 1 (bagian kiri) mengalir sejauh L₁ dan memaksa fluida pada penampang 2 (bagian kanan) untuk berpindah sejauh L₂. Karena luas penampang 2 di bagian kanan lebih kecil, maka laju aliran fluida pada bagian kanan tabung alir lebih besar (Ingat persamaan kontinuitas). Hal ini menyebabkan perbedaan tekanan antara penampang 2 (bagian kanan tabung alir) dan penampang 1 (bagian kiri tabung alir) – Ingat prinsip Bernoulli. Fluida yang berada di sebelah kiri penampang 1 memberikan tekanan P₁ pada fluida di sebelah kanannya dan melakukan usaha sebesar :

Pada penampang 2 (bagian kanan tabung alir), usaha yang dilakukan pada fluida adalah :

W₁ = – p₂ A₂ L₂

Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya yang diberikan berlawanan dengan arah gerak. Jadi fluida melakukan usaha di sebelah kanan penampang 2.

Di samping itu, gaya gravitasi juga melakukan usaha pada fluida. Pada kasus di atas, sejumlah massa fluida dipindahkan dari penampang 1 sejauh L₁ ke penampang 2 sejauh L₂, di mana volume fluida pada penampang 1 (A₁L₁) = volume fluida pada penampang 2 (A₂L₂). Usaha yang dilakukan oleh gravitasi adalah :

W₃= – mg (h₂ – h₁)

W₃= – mgh₂ + mgh₁

W₃= mgh₁ – mgh₂

Tanda negatif disebabkan karena fluida mengalir ke atas, berlawanan dengan arah gaya gravitasi. Dengan demikian, usaha total yang dilakukan pada fluida sesuai dengan gambar di atas adalah :

W = W₁+ W₂ + W₃

W = P₁A₁L₁ – P₂A₂L₂ + mgh₁ – mgh₂

Sampai di sini tarik napas pendek 1000 kali dulu… Waduh pusink

Teorema usaha-energi menyatakan bahwa usaha total yang dilakukan pada suatu sistem sama dengan perubahan energi kinetiknya. Dengan demikian, kita bisa menggantikan Usaha (W) dengan perubahan energi kinetik (EK₂ – EK₁). Persamaan di atas bisa kita tulis lagi menjadi :

W = P₁A₁L₁ – P₂A₂L₂ + mgh₁ – mgh₂

EK₂- EK₁ = P₁A₁L₁ – P₂A₂L₂ + mgh₁ – mgh₂

½ mv₂² – ½ mv₁² = P₁A₁L₁ – P₂A₂L₂ + mgh₁ – mgh₂

Ingat bahwa massa fluida yang mengalir sejauh L₁pada penampang A₁ = massa fluida yang mengalir sejauh L₂ (penampang A₂). Sejumlah massa fluida itu, sebut saja m, mempunyai volume sebesar A₁L₁dan A₂L₂, di mana A₁L₁ = A₂L₂ (L₂ lebih panjang dari L₁).

Sekarang kita subtitusikan alias kita gantikan m pada persamaan di atas :

Persamaan ini bisa juga ditulis dalam bentuk seperti ini :

Ini adalah persamaan Om Bernoulli. Persamaan om Bernoulli ini kita turunkan berdasarkan prinsip usaha-energi, sehingga merupakan suatu bentuk Hukum Kekekalan Energi

Keterangan :

Ruas kiri dan ruas kanan pada persamaan Bernoulli di atas bisa mengacu pada dua titik di mana saja sepanjang tabung aliran sehingga kita bisa menulis kembali persamaan di atas menjadi :

Persamaan ini menyatakan bahwa jumlah total antara besaran-besaran dalam persamaan mempunyai nilai yang sama sepanjang tabung alir.

Sekarang mari kita tinjau persamaan Bernoulli untuk beberapa kasus.

Persamaan Bernoulli pada Fluida Diam

Kasus khusus dari persamaan Bernoulli adalah untuk fluida yang diam (fluida statis). Ketika fluida diam alias tidak bergerak, fluida tersebut tentu saja tidak punya kecepatan. Dengan demikian, v₁ = v₂ = 0. Pada kasus fluida diam, persamaan Bernouli bisa kita rumuskan menjadi :